[영재고 준비 수학] 선분과 점이 주어졌을때 점의 위치에 따른 삼각형의 종류

우선, 이문제는 블랙라벨 3-하에서 봤다

말만 들으면 뭔소리인지 모르겠지만,

 

 

저렇게 선분 AB가 정해졌을때, 점 P의 위치에 따른 삼각형 ABP의 종류(둔각, 예각, 직각)을 구분하라는 소리이다.

 

이거까지 이해했으면, 두번째 단계로 접근을 어떻게 할지 생각을 해보아야 한다.

 

삼각형의 정의들을 보자

 

둔각삼각형 : 한각이 둔각(90도 초과)인 삼각형

예각삼각형 : 모든각이 예각(90도 미만)인 삼각형

직각삼각형 : 한각이 직각인 삼각형

 

보면, 둔각과 직각은 조건이 한각에 대해서만 있는데, 

예각 삼각형은 모든 각에 대한 조건이 붙어있다.

 

그러니 둔각과 직각이 좀더 구하기 쉽다는 뜻이 되겠다.

우선, 직각부터 찾아보자.

 

직각은 또 3가지로 나뉘어진다. 

 

∠A = 90°,  ∠B = 90°,   ∠P = 90°,  

 

우선 ∠A = 90°와 ∠B= 90°에 대해서는 쉽게 찾을수 있다.

 

위 그림과 같이 선분 AB에 대해 수직이고 점 A, B를 지나는 직선 l, m을 그어주면,

점 P가 점 A와 점 B가 아닌, 직선 l 또는 m위에 있으면 된다.

 

∠P = 90°인경우에 대해서는 원주각 개념을 활용해줘야 한다.

이렇게 선분 AB를 지름으로 하는 원을 그려주게 되면, 저 원 위에 있는 모든 P에 대해 ∠APB = 90이다. 왜냐하면 지름을 현으로 갖는 원주각은 90도이기 때문이다. 

그래서, △APB가 직각삼각형이 되려면 직선 l 또는 m, 또는 원 위에 있어야 한다. (P ≠A, B)

둘째, 둔각삼각형일때를 생각해보자

 

마찬가지로 세가지 경우가 있을거다

∠A > 90°,  ∠B > 90°,   ∠P > 90°

∠A > 90°,  ∠B > 90° 경우에는 

 

이 그림을 보면 알수 있듯, 

∠A > 90° 일때는 점 P가 직선 l의 왼쪽에 있고

∠B > 90° 일때는 점P가 직선 m의 오른쪽에 있다

그리고 넘나 당연한것이지만 점 P는 직선 AB위에 있으면 안된다

∠P > 90°일때는 원안에 있으면 된다

그냥 그렇다

정리하면, △APB가 둔각삼각형이 되려면 직선 l 왼쪽,  m 오른쪽, 또는 원 안에 있어야 한다. 

 

이제 예각 삼각형이다

삼각형인데 둔각도 아니고, 직각도 아니라면 예각삼각형일것이다.

그러니

노랑 영역 (직선 l, m사이에 있으면서 원안에 있지 않은영역)일것이다

최종 정리

 

 

검은영역 : 직각삼각형

노랑영역 : 예각삼각형

빨강영역 : 둔각삼각형

 

직선 AB위에 : 삼각형 안됨

왠지 영재고에서 이런거 좋아할것 같아서 한번 글 끄적여봤다