[기하] 파프스의 중선정리

파프스의 중선정리

(뒤에 오는 숫자는 제곱을 나타냅니다) 

삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라 하면, AB2+ AC2 = 2(BM2 + AM2)이다.

 

 

증명 : 

 

점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하면 

 

피타고라스의 정리에 의해 

AB2= BH2+ AH2, AC2= CH2+ AH2

 

합쳐버리면 

 

AB2+AC2 = BH2+ AH2+CH2+ AH2

                  = BH2+CH2+ 2AH2

 

BH2+CH2이걸 어떻게 표현해보면

 

BH = BM + MH

CH = CM- MH이므로

 

BH2+CH2 =(BM + MH)2+ (CM- MH)2

 = BM2+ 2BMMH + MH2 + CM2 - 2CMMH + MH2

BM = CM이므로

 = 2BM2+ 2MH2 가 된다

 

이걸 위의 식(AB2+AC2 = BH2+CH2+ 2AH2)에 대입해주면 

 

AB2+AC2 = BH2+CH2+ 2AH2

 = 2BM2+ 2MH2+ 2AH2

그런데 AH2+MH2 = AM2이므로

 

AB2+AC2 = 2BM2+2AM2인것이다.

이를 적용하기 위한 문제를 살펴보자.

 

예제) (씹고난이도)

 

정삼각형 ABC의 외접원 위의 임의의 점 P에 대하여 PA2+PB2+PC2가 일정함을 증명하여라.

이렇게 점 P를 호 AC위에 두어도 일반성을 잃지 않는다(왜냐면 정n각형과 원의 중심이 일치하기 때문)

 

정삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, AC의 중점을 M이라하고, BM의 삼등분점을 각각 X, Y라 하자. (B에 가까운 점이 X). 그러면 Y는 정삼각형의 무게중심이 되므로, 외심이다.. (이것도 증명해보이겠다)

 

보조정리 1 : 정삼각형의 외심이랑 무게중심이 같음을 보이고 싶다.

 

위의 그림은 정삼각형에서의 무게중심을 나타낸것이다. 

AB = BC = AC 이므로

 

AF = FB = BD = DC = CE = EA인것이다.

 

삼각형 ABD와 삼각형 ACD를 보면, BD = DC, AD 공통, AB = AC로 SSS 합동이다.

그러므로 ∠BAD = ∠DAC = 30°가 된다.

 

삼각형 BEA와 BEC, 삼각형 CFA와 CFB에 같은 과정을 거쳐주면, 

△AGB  ≡ △CGB ≡ △CGA이고 모두 이등변삼각형이니

 

AG = BG = CG가 되어 외심이 되는것을 확인할수 있다.

그러면 다시 본론으로 돌아와, 

이렇게 되면 점 Y는 무게중심이자 내심이 된다.

 

 

삼각형 PAC에서 파프스의 중선정리에 의해

1 PA2+PC2 = 2AM2+2PM2

 

삼각형 PBY에서 파프스의 중선정리에 의해

2 PB2+PY2 = 2BX2+2PX2

 

삼각형 PXM에서 파프스의 중선정리에 의해

3 PX2+PM2 = 2XY2+2PY2

 

그런데, BX = XY = YM이므로

1 +2를 해주면

 

PA2+PC2+PB2+PY2 = 2AM2+2PM2+2BX2+2PX2

 = 2(PM2+PX2) + 2AM2+2BX2

3번식을 대입해주면

 = 2( 2XY2+2PY2) + 2AM2+2BX2

 = 4XY2+4PY2 + 2AM2+2BX2

 = 6XY2+4PY2 + 2AM2

아까 외접원의 반지름을 R로 두었기 때문에

 = 6(R2)2+ 4R2+ 2AM2

 = (11/2)R +  AC2/2 = PA2+PC2+PB2+PY2

 

PA2+PC2+PB2=  (9/2)R +  AC2/2

 

로 일정함을 보일수 있다.

문제풀이가 증명보다 훨씬 길었던것같다

 

적절하지 못한 문제인것 같지만 실제 영재고에서 이따구로 나올것 같아서 그런다.