[기하] 반 아우벨의 정리와 제르곤의 정리

이 글에서는 삼각형의 넓이 비에 대한 간단한 정리를 할것이다.

 

도움정리 1

 

 

삼각형 ABC에서, 변 BC위에 점 D를 잡으면 

 

ABD : ADC = BD : DC 이다.

 

증명은 높이가 같으므로 ABD = h* BD/2, ADC = h * DC/2 이라서 그럼.

 

 

정리 2 매우 중요함!!!!!!!!! 느낌표가 많은데는 이유가 있다

 

평행하지 않은 두 선분 AB와 PQ의 교점 또는 연장선의 교점을 M이라고 한다면

 

이게 성립한다.

우선 

이렇게 점 M이 AB와 PQ의 연장선 위에 위치할때 부터 생각해보면, 

 

이게 증명이다.

 

나머지 위치관계 (점 M이 AB 또는 PQ위에 있을때, 둘 교점에 있을때)에서도 마찬가지로 같은 증명으로 성립하게 된다.

 

이걸 실전에서는 어떻게 쓰게 되냐면, 

 

이런 형태를 보고 거꾸로 뭐가 교점인지, 어떤 두 선분을 기준으로 하는지 결정해주어야 한다.

위의 경우를 보면 교점은 M으로 정해져 있고, 점 P와 Q는 각 삼각형의 꼭짓점이 될것이다.

 

나머지 한 대응되는 선분만 결정해주면 식을 쓸수 있는것이다.

반 아우벨의 정리 

다음이 성립한다

 

위의 정리 2에 의해서 

AF/BF = ACO / BCO 이고

 

AE/CE = AOB/ BCO 가 된다

그러면 두개를 더한 값인

는 (사각형 ABOC / BCO)가 된다.

 

근데 정리 2에 의해서 AO/ DO = 사각형 ABOC / BCO 가 되므로 성립한다.

 

제르곤의 정리

 

ABC에서 내부의 한 점 O를 잡고, O와 꼭짓점 ABC를 이은 직선이 대변과 만나는 점을 각각 PQR이라고 하면 

 

위에가 성립하게 된다. 왜 이러나면 

 

한참 위의 정리 2에 의해서 

 

OP/ AP = BOC / ABC

OQ/BQ = AOC / ABC

OR/CR = AOB / ABC

 

다 더해버리면 (AOB + AOC + BOC) / ABC = 1이 되므로 증명 끝

오늘은 여기까지!!!